\EXERCICE{%
\exercice{Cinétique de décomposition de l'acide acétique}

L'acide acétique se décompose selon deux réactions concurrentes, monomoléculaires:
\displayChem{CH3COOH ->[\kcin_1] CH4 + CO2}
\displayChem{CH3COOH ->[\kcin_2] C2H2O + H2O}
Soit:
$\mathrm{C_0}$ la concentration initiale en \ce{CH3COOH},
$x$ la concentration consommée en \ce{CH3COOH},
$y$ la concentration formée en \ce{CH4},
$z$ la concentration formé en \ce{C2H2O}.

\begin{questions}
\item Exprimer \doverdt{x}, \doverdt{y} et \doverdt{z} en fonction de $x$, $y$, $z$ et $\mathrm{C_{0}}$.
\end{questions}
\begin{donnees}
\item $\kcin_1 = \numprint{3.75}$~s$^{-1}$
\item $\kcin_2 = \numprint{4.65}$~s$^{-1}$
\end{donnees}

\begin{questions}
\item Calculer le temps au bout duquel 99\% de \ce{CH3COOH}
        a disparu.
\end{questions}
}

\SOLUTION{%
\soluce{Cinétique de décomposition de l'acide acétique}
\reponse{Dérivées par rapport au temps}
D'après la loi de la cinétique:
\[
\begin{split}
-\doverdt{\conc{CH3COOH}} & = (\kcin_1 + \kcin_2) \conc{CH3COOH} \\
\doverdt{\conc{CH4}}      & = \kcin_1 \conc{CH3COOH} \\
\doverdt{\conc{C2H2O}}    & = \kcin_2 \conc{CH3COOH} \\
\end{split}
\]
On en déduit:
\[
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{array}{l@{\:=\:}l@{\:=\:}l}
\doverdt{x} & -\doverdt{\conc{CH3COOH}} & (\kcin_1 + \kcin_2) \left(\mathrm{C_0} - x\right) \\
\doverdt{y} & \doverdt{\conc{CH4}}      & \kcin_1 \left(\mathrm{C_0} - x\right) \\
\doverdt{z} & \doverdt{\conc{C2H2O}}    & \kcin_2 \left(\mathrm{C_0} - x\right) \\
\end{array}
\]

\reponse{Temps pour consommer 99\% du produit initial}
C'est le temps nécessaire pour obtenir $x = \numprint{0.99}\mathrm{C_0}$. On intègre
donc \doverdt{x} entre $t = 0$ et $t_{99\%}$:
\[
\begin{split}
\doverdt{x} & = (\kcin_1 + \kcin_2) \left(\mathrm{C_0} - x\right) \\
\Rightarrow \frac{\dd x}{\mathrm{C_0} - x} & = (\kcin_1 + \kcin_2) \dd t \\
\Rightarrow \int_{0}^{\numprint{0.99}\mathrm{C_0}}\frac{\dd x}{\mathrm{C_0} - x} & = \int_{0}^{t_{99\%}}(\kcin_1 + \kcin_2) \dd t \\
\Rightarrow \ln\left(\mathrm{C_0}\right) - \ln\left(\mathrm{C_0} - \numprint{0.99}\mathrm{C_0}\right) & = t_{99\%}(\kcin_1 + \kcin_2) \\
\Rightarrow t_{99\%} & = \frac{\ln(\numprint{100})}{\kcin_1 + \kcin_2} \\
\Rightarrow t_{99\%} & = \numprint{0.55}~\text{s}
\end{split}
\]
}
